Archive 20.11.2020

Funkcja kwadratowa jest zmorą każdego ucznia, szczególnie wtedy, gdy dopiero zaczynamy przygodę z nią. W wielu z nas już sama nazwa wzbudza lęk. Sama definicja i własności funkcji kwadratowej nie są jeszcze aż tak skomplikowane, gorzej, kiedy przychodzi nam rozwiązać bardziej zagmatwane zadanie z jej wykorzystaniem. Dlatego warto dobrze opanować podstawy tej funkcji, by móc używać jej bez problemu w bardziej skomplikowanych przypadkach.

W tym artykule wytłumaczymy definicję funkcji kwadratowej na przykładach. Przyjrzymy się również temu, jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, wykresy oraz miejsca charakterystyczne na wykresie funkcji kwadratowej.

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f daną wzorem: f(x) = ax²+bx+c, w której a, b i c są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym liczba a jest różna od zera (a ≠ 0).

Dlaczego a nie może być zerem w funkcji kwadratowej? Ponieważ x przemnożony przez a będące 0, sam da 0 i z funkcji kwadratowej pozostanie nam po prostu funkcja liniowa.

Przykładami funkcji kwadratowej mogą być między innymi:

• f(x) = 3x²+4x+7

w którym a=3 b=4 i c=7

• f(x) = -9x²+8x+3

w którym a=-9 b=8 i c=3

• f(x) = 5x²-4x

w którym a=5 b=-4 i c=0

• f(x) = x²+ √2

w którym a=1 b=0 i c= √2

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej jest bardzo proste, gdy x jest prostą liczbą: wystarczy w miejsce x podstawić podaną liczbę i obliczyć równanie z zachowaniem prawidłowej kolejności wykonywania działań, czyli najpierw potęgowania i pierwiastkowania, później mnożenia i dzielenia (w kolejności występowania), na końcu dodawanie i odejmowanie kolejnych liczb.

Na przykład:

• Dla funkcji f(x) = 3x²+4x+7, w której x=2, f(x) będzie równe:

f(2)= 3*2+4*2+7

f(2)=6+8+7

f(2)=21

Wykresy funkcji kwadratowej mają dosyć charakterystyczny kształt i, niezależnie od wartości x, wyglądają bardzo podobnie. Formalną nazwą tego kształtu jest parabola, która wygląda jak literka U o końcach wychodzących nieco bardziej na zewnątrz, pnących się ku nieskończoności, tak jak na poniższym rysunku:

Powyżej wykres dla funkcji: f(x) = x²

Jeżeli x jest wartością dodatnią, ramiona paraboli skierowane są ku górze, jeżeli jednak liczbą ujemną – ramiona paraboli będą skierowane w dół.

Wykres dla funkcji f(x) = -3x²+4x+7 będzie zatem wyglądał następująco:

Funkcja kwadratowa powtórzenie

Podstawowe własności wykresu funkcji kwadratowej:

• wykres dowolnej funkcji kwadratowej jest symetryczny, co oznacza, że posiada oś symetrii – gdybyśmy chcieli odbić wykres względem jego osi symetrii, ramiona paraboli nałożyłyby się na siebie w każdym przypadku
• oś symetrii paraboli przechodzi przez punkt nazwany wierzchołkiem paraboli
• miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią x

Jak obliczyć miejsca zerowe dla paraboli? Wystarczy rozwiązać równanie f(x) równa się zero. Oczywiście może zdarzyć się, że funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych – jeśli wykres nie przecina osi X w żadnym punkcie.

Czy funkcja kwadratowa będzie posiadać miejsca zerowe, można szybko dowiedzieć się, wykonując poniższe równanie:

jeśli f(x) = ax²+bx+c, a ≠ 0, a ∆=b²-4ac

to:

∆<0      oznacza zero miejsc zerowych

∆=0      to jedno miejsce zerowe: x₀=-b/2a

∆>0      to dwa miejsca zerowe

Im mniejsza wartość a, tym bliżej wykresowi do wyglądu wykresu funkcji liniowej, na przykład wykres dla funkcji: f(x) = 0.03x²+5x będzie wyglądał następująco:

Czym są cyfry rzymskie?

Liczby rzymskie to powstałe w starożytnym Rzymie symbole oznaczające konkretne liczby. By wyrazić konkretne liczby, system rzymski zaanektował kilka liter z alfabetu łacińskiego i nadał im znaczenie liczbowe. Zapisywanie liczb w ten sposób było popularne w Europie aż do późnych lat średniowiecza i głównie takie symbole znajdziemy w zapisach z tych kilku tysięcy lat, pochodzących z Europy.

Tak jak w przypadku liczb arabskich, wyróżniamy kilka podstawowych symboli, które oznaczają konkretne liczby, a resztę cyfr i liczba zapisać można przez połączenie tych konkretnych symboli. W systemie rzymskich najważniejszych jest nie 10 podstawowych cyfr od 1 do 10, ale 7 symboli, które są łączone już w pierwszej dziesiątce liczb. Wszystkie z nich opisujemy szczegółowo w rozdziałach poniżej.

7 najważniejszych liter systemu rzymskiego

Zdecydowanie najważniejszymi symbolami są tutaj takie litery alfabetu łacińskiego jak:

I – oznacza 1; stojące obok siebie „I” dodaje się odpowiednio, stąd II będzie oznaczało 2, a III – 3;

V – oznacza 5; tej litery nie można jednak powtarzać, nie istnieje zapis „VV”, by zatem napisać 10, używamy kolejnej litery, czyli:

X – oznacza 10; stojące obok siebie „X” dodaje się odpowiednio, stąd XX będzie oznaczało 20, a XXX – 30;

L – oznacza 50; tej litery nie można podwajać ani potrajać – nie istnieje zapis „LL”, by zatem napisać 100, używamy kolejnej litery, czyli:

C – oznacza 100

D – oznacza 500; tej litery również nie można multiplikować– nie istnieje zapis „DD”, 1000 będzie zapisany zatem jako:

M – oznacza 1000

Jednak te liczby to tylko niektóre liczby z podstawowej numeracji. Jak więc starożytni Rzymianie zapisywali pozostałe cyfry od 1 do 9, by możliwe było napisanie dowolnej liczby? Jak wspomnieliśmy, niektóre litery można zapisywać razem i wtedy w połączeniu dają one daną cyfrę. Można też łączyć różne litery ze sobą, stąd VI będzie oznaczać „5 i 1”, czyli 6, a XIII – „10 i 3”, czyli 13.

Rzymskie liczby – sposób zapisu

Jak wspomniano, litery I, X, C oraz M można multiplikować, by wyrazić ich przemożenie (CC oznacza 200, a MM dwa tysiące). Nie można zapisać jednak większej liczby liter niż trzy, dlatego cyfry 4 nie zapisujemy jako „IIII”.

Jak więc zapisać 4, 9 i 14? Przed „V” lub „X” może być postawiona „I” i dzięki temu z „IV” otrzymujemy 4, z „IX” otrzymujemy 9, a z XIV – 14.

Podsumowując, cyfry od 1 do 9 w systemie rzymskim wyglądały tak:

I – 1

II – 2

III – 3

IV – 4

V – 5

VI – 6

VII – 7

VIII – 8

IX – 9

Pamiętajmy, że rzymskie liczby zapisuje się z reguły wielkimi literami (tak zwanymi drukowanymi), choć zezwala się na zapis z małych liter łacińskich na przykład w numeracji stron lub w punktacji. W części oficjalnych dokumentów, na przykład regulaminów lub aktów prawnych, znajdziemy zatem przypadki rzymskich liczb zapisanych w ten sposób: xi, iii lub xix.

Jakie jeszcze znaki rzymskie powinno się znać?

Jak mogłeś zauważyć, liczby rzymskie nie posiadają 0. By dodać kolejne 0 do liczby, rzymianie używali następnej litery. I dlatego przykłady wyglądają następująco:

X – 10

XX – 20

XXX – 30

XL – 40

L – 50

LX – 60

LXX – 70

LXXX – 80

XC – 90

C- 100

CC -200

MCDXCII – 1492

MCMLX – 1960

MMXIX – 2019

Matematyka dla dzieci w domu

Matematyka dla dzieci com to odpowiedź na modlitwy wielu rodziców o pomoc w ukierunkowanej, lecz przy tym kreatywnej nauce matematyki w domu. O ile wszyscy umiemy znaleźć sposoby na to, jak wpleść w codzienną zabawę podstawowe liczenie i dodawanie, to już nauka mnożenia czy ułamków może stanowić nie lada ból głowy.

Tabliczka mnożenia jest zmorą wszystkich młodych rodziców i ich pociech. Kucie na pamięć wiersza za wierszem liczb, które nic nie znaczą, a (oprócz mnożenia przez 9) nie kierują się żadną łatwą do zapamiętania zasadą, jest katorgą dla wielu dzieci. Nie pomagają prośby i groźby, część dzieci stawia aktywny opór, który stanowi przeszkodę nie do pokonania.

Lecz jeśli istnieje lepszy sposób na skuteczną naukę matematyki u dzieci? Nasi eksperci przeszukują Internet w poszukiwaniu najlepszych sprowadzonych metod nauki matematyki dla dzieci, wybierając i testując gry dla dzieci matematyka, zadania i ćwiczenia, by ułatwić życie rodzicom takim jak ty. Propagujemy jedynie metody, które działają i które są dla dzieci dobrą zabawą, a nie próbą ognia. Bo wiemy, że tylko z tej strony warto zaczynać samodzielną naukę ze swoją pociechą.

Kreatywna matematyka dla dzieci – czy to działa?

Badania sugerują, że wczesne umiejętności matematyczne są lepszym wskaźnikiem sukcesu akademickiego niż wczesne umiejętności czytania – ale nie wszystkie przedszkola uczą matematyki już takie maluchy. A im więcej ćwiczeń z matematyki dzieci wykonują w okresie przedszkolnym, tym lepiej rozumieją matematykę w szkole.

Wczesne umiejętności matematyczne mają największą podstawę prognostyczną do oceny późniejszych sukcesów dziecka – donosi zespół psychologów kierowany przez Grega J. Duncana w badaniu opublikowanym w „Developmental Psychology” w 2007 roku. Kolejnymi metodami oceny przyszłego sukcesu są: umiejętność czytania oraz zdolność zwracania na siebie uwagi.

Badania uzupełniające również potwierdzają kluczowe znaczenie wczesnych umiejętności matematycznych dla późniejszego sukcesu w matematyce. Takie zdolności zapowiadają wyższe predyspozycje w matematyce szkolnej i wyższe wskaźniki przyjęć na studia. Badanie Vanderbilta z 2014 r. wykazało, że „zarówno dla mężczyzn, jak i dla kobiet, predyspozycje matematyczne na wczesnym etapie życia pozwalają przewidzieć późniejszy wkład twórczy i przywództwo w krytycznych rolach zawodowych”.

W tym artykule przedstawimy kilka ciekawych opcji na ćwiczenia, zabawy i gry dla dzieci do nauki matematyki, którymi możesz pomóc swoim dzieciom nawet w domu.

Kreatywna matematyka dla najmłodszych dzieci

W przypadku najmłodszych dzieci, które nie znają jeszcze cyferek i nie potrafią liczyć, najlepiej sprawdzają się gry uczące geometrii. Nie można przecież zapomnieć, że kwadraty, koła i trójkąty to przecież bardzo ważna część nauk matematycznych.

Większość dzieci będzie miało już wśród swoich zabawek klocki z drewnianą ramką z powykrawanymi w niej otworami o odpowiednich kształtach, w które maluch może wkładać klocki i przymierzać, czy pasują. Inne zabawy mogą polegać na układaniu nowych kształtów z wyciętych z kartonu kolorowych figur geometrycznych (na przykład takich naklejanych na szybę) lub grze z geoplanem, który można kupić lub łatwo wykonać samodzielnie w domu.

Geoplan to nic innego jak drewniana deseczka, z której wystają tej samej długości drewniane kołki w równych odstępach. Przy pomocy gumek recepturek dziecko może tworzyć na kołkach różne figury geometryczne, rozciągając gumki pomiędzy kołkami. Im więcej kołków, tym większe pole do popisu.

Inne ćwiczenia do nauki geometrii to na przykład plastikowa torebka wypełniona żelem z małymi kulkami, na której zewnętrznej stronie można nakleić figury geometryczne (same zarysowania, puste w środku). Dziecko może wtedy przesuwać palcem kulki do podanej przez dorosłego figury. Nieco starsze pociechy będą w stanie przesuwać do figur odpowiednią ilość kulek i tworzyć zbiory liczb, np. 3 do żółtego trójkąta, 4 do czerwonego kwadratu itd.

Starsze dzieci mogą nauczyć się z geoplanu nawet tego, jak trójkąt można wpisać w koło i odwrotnie. To świetna kreatyna zabawa do nauki matematyki dla najmłodszych. Do nauki pisania literek i cyferek warto użyć talerzyka wysypanego piaskiem lub bułką tartą. Wielkość talerza sprawi, że pisanie małymi niezdarnymi jeszcze rękami dziecka będzie prostsze niż ołówkiem na papierze, a element „wycierania” liczb zmieni naukę w zabawę.

Kreatywna matematyka dla przedszkolaków

Wśród zabaw ułatwiających poznawanie i zapamiętywanie liczb, świetnie sprawdzą się każdego rodzaju talerzyki, miseczki i kubeczki z cyframi od jeden do 10 (lub większych sum, w zależności od gry). Do takich pojemniczków dziecko wkłada odpowiednią ilość (wybierz odpowiednie): żelek, kasztanów, koralików, patyczków lub cokolwiek macie pod ręką.

Oznaczanie numerami wszystkiego, co macie pod ręką, jest świetnym sposobem na zapamiętywanie wizualnego odwzorowania danej liczby w codziennym życiu. Trzy szczoteczki do zębów, pięć talerzy, 6 poduszek na kanapie, 4 kwiatki na talerzy. Spraw, by życie stało się matematyczną zabawą, a liczenie przyjdzie Twoim dzieciom z zadziwiającą łatwością.

Chociaż tradycyjne liczydło nikomu nie zawróci w głowie, to ta antyczna zabawka do teraz pozostaje jednym z najlepszych narzędzi do nauki dodawania i odejmowania. W przypadku dzieci przedszkolnych oczywiste jest, że im atrakcyjniejsze liczydło, tym łatwiejsza będzie nauka.

Warto pamiętać, by było w użyciu jak najczęściej: kiedy nasz maluch zacznie swoją przygodę z dodawaniem, warto sięgać po liczydło jak najczęściej, przy każdej czynności domowej, w której można coś policzyć. Im częściej liczydło będzie w ruchu, tym większe znaczenie będzie miało dla naszego dziecka poznawania ostatecznego wyniku i sumy np. placków, które musimy usmażyć dla całej rodziny.

Domowa nauka matematyki dla dzieci szkolnych

Do nauki mnożenia przyda się fizyczna „tabelka”, którą z łatwością można zrobić w domu. Wystarczy deseczka, która pomieści pola takiej samej wielkości (np. o rozmiarze kwadratowych klocków, które mamy w domu) o rozmiarze 9×9. Wierszami i kolumnami tabeli będą liczby od 1 do 9.

Dziecko mające przemnożyć jedną liczbę przez drugą, może po prostu ułożyć odpowiednią ilość klocków pod mnożonymi przez siebie cyframi i przeliczyć klocki. Jednak uwaga! Ta genialna metoda nauki mnożenia, wynaleziona w szkołach Montessori, wymaga aż 81 klocków!

Istnieje również sporo interesujących i tanich ćwiczeń do nauki ułamków. Na szczęście nie musisz już codziennie zamawiać pizzy lub piec babki, dzieląc ją na równe części i licząc każdy po kolei. Wystarczy zwykły talerz i zmywalny pisak. Takie „narzędzie” można wtedy dzielić tyle razy, ile nam się podoba. Powodzenia!

Jak uczyć dzieci matematyki w domu?

Z większymi dziećmi można również zacząć naukę kodowania, nawet bez użycia komputera i specjalistycznych programów. Zabawki służące do poznania podstaw kodowania można zrobić samemu w domu i to bardzo tanio.

Te i inne metody sprytnej nauki matematyki w domu poznasz przy pomocy naszej strony już niedługo! Szukaj innych sposobów na kreatywną naukę matematyki w domu na naszej stronie. Czytaj na bieżąco artykuły naszych ekspertów i poznaj wszystkie najlepsze i sprawdzone metody na kreatywną naukę w domu!