Archive 20.11.2020

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa jest zmorą każdego ucznia, szczególnie wtedy, gdy dopiero zaczynamy przygodę z nią. W wielu z nas już sama nazwa wzbudza lęk. Sama definicja i własności funkcji kwadratowej nie są jeszcze aż tak skomplikowane, gorzej, kiedy przychodzi nam rozwiązać bardziej zagmatwane zadanie z jej wykorzystaniem. Dlatego warto dobrze opanować podstawy tej funkcji, by móc używać jej bez problemu w bardziej skomplikowanych przypadkach.

W tym artykule wytłumaczymy definicję funkcji kwadratowej na przykładach. Przyjrzymy się również temu, jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, wykresy oraz miejsca charakterystyczne na wykresie funkcji kwadratowej.

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f daną wzorem: f(x) = ax2+bx+c, w której a, b i c są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym liczba a jest różna od zera (a ≠ 0).

Dlaczego a nie może być zerem w funkcji kwadratowej? Ponieważ x przemnożony przez a będące 0, sam da 0 i z funkcji kwadratowej pozostanie nam po prostu funkcja liniowa.

Przykładami funkcji kwadratowej mogą być między innymi:

  • f(x) = 3x2+4x+7

w którym a=3 b=4 i c=7

  • f(x) = -9x2+8x+3

w którym a=-9 b=8 i c=3

  • f(x) = 5x2-4x

w którym a=5 b=-4 i c=0

  • f(x) = x2+ √2

w którym a=1 b=0 i c= √2

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej jest bardzo proste, gdy x jest prostą liczbą: wystarczy w miejsce x podstawić podaną liczbę i obliczyć równanie z zachowaniem prawidłowej kolejności wykonywania działań, czyli najpierw potęgowania i pierwiastkowania, później mnożenia i dzielenia (w kolejności występowania), na końcu dodawanie i odejmowanie kolejnych liczb.

Na przykład:

  • Dla funkcji f(x) = 3x2+4x+7, w której x=2, f(x) będzie równe:

f(2)= 3*2+4*2+7

f(2)=6+8+7

f(2)=21

Wykresy funkcji kwadratowej mają dosyć charakterystyczny kształt i, niezależnie od wartości x, wyglądają bardzo podobnie. Formalną nazwą tego kształtu jest parabola, która wygląda jak literka U o końcach wychodzących nieco bardziej na zewnątrz, pnących się ku nieskończoności, tak jak na poniższym rysunku:

Powyżej wykres dla funkcji: f(x) = x2

Jeżeli x jest wartością dodatnią, ramiona paraboli skierowane są ku górze, jeżeli jednak liczbą ujemną – ramiona paraboli będą skierowane w dół.

Wykres dla funkcji f(x) = -3x2+4x+7 będzie zatem wyglądał następująco:

Funkcja kwadratowa powtórzenie

Podstawowe własności wykresu funkcji kwadratowej:

  • wykres dowolnej funkcji kwadratowej jest symetryczny, co oznacza, że posiada oś symetrii – gdybyśmy chcieli odbić wykres względem jego osi symetrii, ramiona paraboli nałożyłyby się na siebie w każdym przypadku
  • oś symetrii paraboli przechodzi przez punkt nazwany wierzchołkiem paraboli
  • miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią x

Jak obliczyć miejsca zerowe dla paraboli? Wystarczy rozwiązać równanie f(x) równa się zero. Oczywiście może zdarzyć się, że funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych – jeśli wykres nie przecina osi X w żadnym punkcie.

Czy funkcja kwadratowa będzie posiadać miejsca zerowe, można szybko dowiedzieć się, wykonując poniższe równanie:

jeśli f(x) = ax2+bx+c, a ≠ 0, a ∆=b2-4ac

to:

∆<0      oznacza zero miejsc zerowych

∆=0      to jedno miejsce zerowe: x0=-b/2a

∆>0      to dwa miejsca zerowe

Im mniejsza wartość a, tym bliżej wykresowi do wyglądu wykresu funkcji liniowej, na przykład wykres dla funkcji: f(x) = 0.03x2+5x będzie wyglądał następująco:

Rzymski system zapisywania liczb

Czym są cyfry rzymskie?

Liczby rzymskie to powstałe w starożytnym Rzymie symbole oznaczające konkretne liczby. By wyrazić konkretne liczby, system rzymski zaanektował kilka liter z alfabetu łacińskiego i nadał im znaczenie liczbowe. Zapisywanie liczb w ten sposób było popularne w Europie aż do późnych lat średniowiecza i głównie takie symbole znajdziemy w zapisach z tych kilku tysięcy lat, pochodzących z Europy.

Tak jak w przypadku liczb arabskich, wyróżniamy kilka podstawowych symboli, które oznaczają konkretne liczby, a resztę cyfr i liczba zapisać można przez połączenie tych konkretnych symboli. W systemie rzymskich najważniejszych jest nie 10 podstawowych cyfr od 1 do 10, ale 7 symboli, które są łączone już w pierwszej dziesiątce liczb. Wszystkie z nich opisujemy szczegółowo w rozdziałach poniżej.

7 najważniejszych liter systemu rzymskiego

Zdecydowanie najważniejszymi symbolami są tutaj takie litery alfabetu łacińskiego jak:

I – oznacza 1; stojące obok siebie „I” dodaje się odpowiednio, stąd II będzie oznaczało 2, a III – 3;

V – oznacza 5; tej litery nie można jednak powtarzać, nie istnieje zapis „VV”, by zatem napisać 10, używamy kolejnej litery, czyli:

X – oznacza 10; stojące obok siebie „X” dodaje się odpowiednio, stąd XX będzie oznaczało 20, a XXX – 30;

L – oznacza 50; tej litery nie można podwajać ani potrajać – nie istnieje zapis „LL”, by zatem napisać 100, używamy kolejnej litery, czyli:

C – oznacza 100

D – oznacza 500; tej litery również nie można multiplikować– nie istnieje zapis „DD”, 1000 będzie zapisany zatem jako:

M – oznacza 1000

Jednak te liczby to tylko niektóre liczby z podstawowej numeracji. Jak więc starożytni Rzymianie zapisywali pozostałe cyfry od 1 do 9, by możliwe było napisanie dowolnej liczby? Jak wspomnieliśmy, niektóre litery można zapisywać razem i wtedy w połączeniu dają one daną cyfrę. Można też łączyć różne litery ze sobą, stąd VI będzie oznaczać „5 i 1”, czyli 6, a XIII – „10 i 3”, czyli 13.

Rzymskie liczby – sposób zapisu

Jak wspomniano, litery I, X, C oraz M można multiplikować, by wyrazić ich przemożenie (CC oznacza 200, a MM dwa tysiące). Nie można zapisać jednak większej liczby liter niż trzy, dlatego cyfry 4 nie zapisujemy jako „IIII”.

Jak więc zapisać 4, 9 i 14? Przed „V” lub „X” może być postawiona „I” i dzięki temu z „IV” otrzymujemy 4, z „IX” otrzymujemy 9, a z XIV – 14.

Podsumowując, cyfry od 1 do 9 w systemie rzymskim wyglądały tak:

I – 1

II – 2

III – 3

IV – 4

V – 5

VI – 6

VII – 7

VIII – 8

IX – 9

Pamiętajmy, że rzymskie liczby zapisuje się z reguły wielkimi literami (tak zwanymi drukowanymi), choć zezwala się na zapis z małych liter łacińskich na przykład w numeracji stron lub w punktacji. W części oficjalnych dokumentów, na przykład regulaminów lub aktów prawnych, znajdziemy zatem przypadki rzymskich liczb zapisanych w ten sposób: xi, iii lub xix.

Jakie jeszcze znaki rzymskie powinno się znać?

Jak mogłeś zauważyć, liczby rzymskie nie posiadają 0. By dodać kolejne 0 do liczby, rzymianie używali następnej litery. I dlatego przykłady wyglądają następująco:

X – 10

XX – 20

XXX – 30

XL – 40

L – 50

LX – 60

LXX – 70

LXXX – 80

XC – 90

C- 100

CC -200

MCDXCII – 1492

MCMLX – 1960

MMXIX – 2019