Archive 03.02.2021

Działania na potęgach

Potęgowanie to jedno z ciekawszych działań matematycznych, które polega na podnoszeniu danej liczby do konkretnej potęgi. Jeżeli nasz x jest dodatnią liczbą całkowitą, potęgowanie odpowiada na mnożeniu tej właśnie liczby przez samą siebie. Jeśli zapiszemy przykładowo 23, oznacza to, że liczbę 2 podnosimy do trzeciej potęgi. Czyli mnożymy 2 ⋅ 2 ⋅ 2, w rezultacie otrzymując 8. Proste, prawda? Sprawy komplikują się nieco, gdy do akcji wkraczają działania na potęgach. Przyjrzyjmy im się bliżej.

Dodawanie potęg

Postaramy się w łatwy i przejrzysty sposób wytłumaczyć jak dodawać potęgi. Rozumiemy, że wielu z Was może mieć z tym mały problemy. Bez obaw, to naprawdę prostsze, niż może się wydawać!

Przykład 1.

Dodawanie potęg może wydawać się utrudnione, ponieważ polega ono na dodawaniu wykładników potęg, lecz ich podstaw. Na samym początku musimy ustalić jedno. Mianowicie, że:

x + x = 2x

Jeżeli dodanie dwóch takich samych liczb naturalnych powoduje możliwość zamiany działania na mnożenie, to dodawanie potęg o tych samych podstawach będzie wyglądać następująco:

Jeżeli x + x = 2x,

to 42 + 42 = 2 42

Zamieniając działanie na mnożenie, wykonaliśmy właśnie poprawne dodawanie potęg o tych samych podstawach. Można oczywiście pokusić się o rozwiązanie tego działania. Spróbujecie odnaleźć wynik sami? Ile wynosi: 42 + 42 = 2 ⋅ 42 = ?

Przykład 2.

Pójdźmy o krok dalej. Co powiecie na takie dodawanie potęg?

2 42 + 42

W tym wypadku posłużymy się naszym początkowym wzorem z niewiadomą x, pamiętając również o kolejności wykonywania działań. Pamiętaj! Najpierw mnożenie, potem dodawanie! Dlatego:

Jeżeli 2x + x = 3x,

to: 2 42 + 42 = 3 42

I tak dalej, i tak dalej. Dodawanie potęg to prosta sprawa!

Odejmowanie potęg

Tak jak w przypadku dodawania, odejmowanie potęg będzie się rządziło podobnymi prawami. Jeśli już opanowaliście dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, to nie powinniście mieć problemu z działaniami na potęgach. Na wszelki wypadek, zobaczmy to na jednym, konkretnym przykładzie.

Przykład 3.

Nie owijając w bawełnę, rzućmy okiem na poniższą zależność:

2x – x = x

Skoro od większej liczby odejmujemy mniejszą i otrzymujemy wynik odejmowania, to teraz przenieśmy to samo na nasz przykład z potęgami:

2 42 – 42 = 42

Koniecznie pamiętaj o kolejności działań matematycznych. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie. Dlatego od dwóch liczb 42 odejmujemy jedną taką liczbę. Nie ma innego rozwiązania.

Potęgi wzory

Czy istnieją jakieś wzory potęg? Jak najbardziej. Poniżej przedstawiamy Ci kilka najważniejszych wzorów, które ułatwią Ci zrozumienie, na czym polega potęgowanie. Pozwól, że przedstawimy wzory na literach, gdzie:

a, b – podstawa potęgi

n, m – wykładnik potęgi

Oto wzory na potęgi:

Nie zapominaj!

Dodawanie i odejmowanie potęg może być elementem bardziej rozbudowanych działań matematycznych. Zawsze staraj się maksymalnie skracać i upraszczać wszelkie zapisy. Poprzez wzory skróconego mnożenia, wyciąganie przed nawias, lub – o czym pisaliśmy wyżej – odejmowanie i dodawanie potęg.

Na koniec jeszcze jedno: nie pomyl dodawania i odejmowania potęg z ich mnożeniem i dzieleniem!

Dodawanie: 63 + 63 + 63 = 3 63

Mnożenie: 63 63 63 =  63+3+3 = 69

Mnożenie logarytmów

Logarytmy w matematyce są rozwiązaniem równania, w którym szuka się liczby, do której trzeba podnieść jedną liczbę, by otrzymać drugą. Zanim jednak przejdziemy do mnożenia logarytmów, przypomnijmy krótko, na czym polegają same logarytmy. Najlepiej przedstawić od na przykładzie. Wzór logarytmu wygląda tak:

logab = c

Wtedy i tylko wtedy, gdy:

ac = b

Poszczególne litery tego ogólnego wzoru odczytamy następująco:

a – podstawa logarytmu

b – liczba logarytmowana

c – logarytm

Logarytm przy podstawie a z liczby b wynosi c.

Należy pamiętać również o tym, że podstawa logarytmu, czyli w naszym przykładzie a, musi być większa od 0 i różna od 1. Z kolei liczba logarytmowana, czyli nasze b wynosić musi więcej niż 0.

Mnożenie logarytmów o tej samej podstawie

Jeżeli chodzi o mnożenie logarytmów wzory nie istnieją. Aby poprawnie obliczyć wynik mnożenia logarytmów, musimy postępować tak, jak w przypadku ich dodawania i odejmowania. Na osobnej kartce lub gdzieś na boku na leży najpierw obliczyć każdy z logarytmów. Otrzymane wyniki następnie mnożymy przez siebie.

Skomplikowane? Spójrzmy na praktyczny przykład.

Przykład

Spróbujmy teraz obliczyć najbardziej podstawowy przykład mnożenia logarytmów o tej samej podstawie. Do znalezienia wyniku użyjemy działań matematycznych, które najpierw pozwolą nam rozwiązać każdy z logarytmów. Na koniec zamiast nich wstawimy otrzymane liczby, które przemnożymy, by uzyskać wynik końcowy tego działania.

log216 ⋅ log327 = ?

log216 = x

2x = 16

2x = 24

x = 4

log327 = y

3y = 27

3y = 33

y = 3

4 ⋅ 3 = 12

I to tyle w temacie mnożenia logarytmów. Oczywiście możesz spotkać się z bardziej rozbudowanymi działaniami matematycznymi, w których pojawią się również elementy mnożenia logarytmów. Pamiętając o odpowiedniej kolejności działań i obliczaniu „na marginesie” poszczególnych logarytmów, z pewnością uda Ci się rozwiązać nawet najbardziej rozbudowane zadanie.

Czy istnieją wzory logarytmów?

Nie ma jasno określonych wzorów na logarytmy, ponieważ nie są one w tym przypadku potrzebne. Rozwiązanie zadań z logarytmami odbywa się w oparciu o podstawowe zasady algebry. Żeby odpowiednio rozwiązać działania na kilku logarytmach, trzeba najpierw znaleźć wynik każdego z nich osobno.

O ile wzory logarytmów nie istnieją, o tyle możemy podzielić się z Wami kilkoma ważnymi zależnościami, które pomogą Wam w sprawniejszym poruszaniu się po tej dziedzinie matematyki. Oto dwa kluczowe wnioski, które warto zapamiętać:

loga1 = 0, ponieważ a0 = 1

loga a = 1, ponieważ a1 = a

Te dwa wnioski pojawiają się także przy temacie potęg, więc z pewnością nie są Ci obce.

Teraz już wiesz, że logarytmy mają całkiem dużo wspólnego z potęgami. Trzeba jedynie pamiętać, jak w jaki sposób „pozamieniać” kolejność elementów, by móc obliczyć konkretne działanie.