Archive 15.04.2021

Z całą pewnością działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów, zaś powszechna niechęć wynika z braku zrozumienia zagadnienia. Z pewnością dla niektórych osób, samo zrozumienie pojęcia pierwiastkowania jest nie lada wyczynem i wiąże się z koniecznością poświęcenia czasu na jego opanowanie i przyswojenie. Jesteśmy jednak pewni, że nauczenie się odpowiednich wzorów nie jest rzeczą niemożliwą, a ich znajomość powinna pozwolić na mnożenie i dzielenie pierwiastków szybko i poprawnie. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 3² rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi √9 trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Mnożenie pierwiastków

Po krótkim przypomnieniu, czym w ogóle są pierwiastki, z całą pewnością możemy przedstawić wzory na ich mnożenie oraz dzielenie. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań matematycznych, rozpoczniemy od mnożenia.

Na początek łatwy przykład:

√2 x √2

mnożymy po prostu obie liczby znajdujące się pod pierwiastkami, co daje wynik 4, czyli odpowiedzią jest √4, który oczywiście wynosi 2.

Poprawny zapis wygląda następująco:

√(2 ) x √2= √2×2= √4=2

Inny przykładem jest

(√6)^2= √6 x √6= √36=6

Powyższe generalnie uznać można za naprawdę proste, dlatego też następny będzie cięższy:

2 √5 x 3√5=3 x 2 x √5 x √5=6 x 5=30

żeby rozwiązać to zadanie, trzeba obliczyć pierwiastek z 25.

Na wspomnianych pierwiastkach sześciennych również można wykonywać mnożenie:

∛8 x ∛27=2 x 3=6

Jak widać mnożenie pierwiastków nie jest więc zatrważająco skomplikowane.

Dzielenie pierwiastków

W następnej kolejności trzeba oczywiście przejść do dzielenia, które również po przećwiczeniu okazuje się być proste oraz przyjemne. Na wstępie zaczniemy od łatwego zadania: 2√4 ∶ √2. Żeby re rozwiązać, trzeba zastosować wzór: (√a)/(√b)= √(a/b). W związku z tym, powyższe równanie należy rozpisać: 2 x √(4/2)=2 x √(2/1)=2 x √2=2√2. W przypadku, gdy dzielnik nie jest pierwiastkiem (czyli 2√4 ∶ 2), rozwiązanie jest takie: : (2 x √4)/2=2 x 2∶2=4∶2=2.

Podsumowanie

Powyższe przykłady mnożenia i dzielenia dowodzą w stu procentach, że działania te nie są szczególnie trudne – do zapamiętania są praktycznie wyłącznie dwa wzory dotyczące obliczania ilorazów. Co najważniejsze w matematyce, ważne jest żeby rozwiązywać jak najwięcej przykładów i osiągnąć perfekcję. Jednocześnie warto wspomnieć, że w przypadku niespodziewanej kartkówki lub sprawdzianu z pierwiastków, przy braku ich dokładnego opanowania, zawsze można skorzystać z serwisu Buki.org, na którym szybko i łatwo można znaleźć dobrego korepetytora udzielającego lekcji online lub stacjonarnie. Niemniej mamy ogromną nadzieję, że już nigdy nie zostanie postawione pytanie: jak mnożyć pierwiastki i je dzielić.

Można śmiało powiedzieć, że działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów. Jak to zwykle bywa, niechęć w tym przypadku najczęściej wynika z braku zrozumienia tej na pozór skomplikowanej materii. Z całą jednak pewnością można uznać, że zapoznanie się z podstawową wiedzą na ten temat wraz z wykonaniem kilkunastu lub kilkudziesięciu zadań, pozwoli dodawać i odejmować pierwiastki bez najmniejszego problemu. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami. Naprawdę mamy wielką nadzieję, że lektura tego tekstu pomoże każdemu opanować umiejętność wykonywania tych działań do prawdziwej perfekcji.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 3² rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi √9 ,trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Dodawanie pierwiastków

Przede wszystkim przechodząc do odpowiedzi na pytanie, jak dodawać pierwiastki, trzeba przypomnieć parę kwestii. Można je dodawać wyłącznie wtedy, gdy są tego samego stopnia, a dodatkowo muszą mieś identyczną liczbę podpierwiastkową – wtedy są to tak zwane pierwiastki podobne. Co również ważne i praktycznie kluczowe, działanie obejmuje liczby stojące przed pierwiastkami a nie w nich. Czyli przykładowo:

3√2 + 4√2 = 7√2

Jak wskazano powyżej dodajemy wyłącznie liczby przed pierwiastkami. W przypadku, gdy liczby podpierwiastkowe są różne, przykładowo:  3√2 + 4√2 wynik wynosić będzie po prostu 3√2 + 4√2. Przejdziemy również do znacznie cięższego przykładu, w którym na pierwszy rzut oka nie da się wykonać dodawania: 2√5 + 4√2 + √20. Koniecznym jest udzielenie paru cennych wskazówek – przede wszystkim trzeba rozłożyć liczby znajdujące się pod pierwiastkiem na iloczyny w ten sposób, że jedna stanowi wynik potęgowania do kwadratu.

Otrzymujemy więc

2√5+ √45+√(20 )= 2√5+ √9×5+√4×5= 2√5+ 3√5+2√(5 ) = 7√(5 )

Odejmowanie pierwiastków

Przy odejmowaniu pierwiastków należy mieć na uwadze te same zasady, które obowiązują przy ich dodawaniu. W przypadku różnych liczb podpierwiastkowych, należy znaleźć jedną wspólną, zaś pozostałą resztę, stanowiącą potęgę do kwadratu liczby naturalnej, wyciągnąć przed pierwiastek. Nie wyprzedzajmy jednak faktów i zacznijmy od przykładu prostego:

2√2- √2=√2

Jest to oczywiste. Bardziej skomplikowany przykład to:

√45- 2√5=√5x3x3- 2√5= 3√5- 2√5= √5

Podobnie więc jak przy dodawaniu, niejednokrotnie trzeba trochę pogłówkować, w celu znalezienia niejako wspólnej dla działania liczby podpierwiastkowej.

Podsumowanie

Mamy nadzieję, że powyższej zaprezentowane przykłady pomogą nauczyć się lub przypomną, jak się dodaje i odejmuje pierwiastki. Jak widać, nie jest to szczególnie skomplikowane, aczkolwiek warto poświęcić przynajmniej minimalną ilość wolnego czasu na szlifowanie tej umiejętności. Warto w tym miejscu również zachęcić do wizyty na stronie internetowej Buki.org, na której szybko i łatwo można znaleźć korepetytora z wybranego przedmiotu, który udzieli lekcji zarówno online, jak i stacjonarnie. W przypadku dużych problemów z danym działem matematyki, warto rozważyć tę opcję. Niemniej zachęcamy do regularnej nauki i rozwiązywania zadań, ponieważ jest to najważniejsze w celu opanowania matematyki.