Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Z całą pewnością działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów, zaś powszechna niechęć wynika z braku zrozumienia zagadnienia. Z pewnością dla niektórych osób, samo zrozumienie pojęcia pierwiastkowania jest nie lada wyczynem i wiąże się z koniecznością poświęcenia czasu na jego opanowanie i przyswojenie. Jesteśmy jednak pewni, że nauczenie się odpowiednich wzorów nie jest rzeczą niemożliwą, a ich znajomość powinna pozwolić na mnożenie i dzielenie pierwiastków szybko i poprawnie. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 32 rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi √9 trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Mnożenie pierwiastków

Po krótkim przypomnieniu, czym w ogóle są pierwiastki, z całą pewnością możemy przedstawić wzory na ich mnożenie oraz dzielenie. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań matematycznych, rozpoczniemy od mnożenia.

Na początek łatwy przykład:

√2 x √2

mnożymy po prostu obie liczby znajdujące się pod pierwiastkami, co daje wynik 4, czyli odpowiedzią jest √4, który oczywiście wynosi 2.

Poprawny zapis wygląda następująco:

√(2 ) x √2= √2×2= √4=2

Inny przykładem jest

(√6)^2= √6 x √6= √36=6

Powyższe generalnie uznać można za naprawdę proste, dlatego też następny będzie cięższy:

2 √5 x 3√5=3 x 2 x √5 x √5=6 x 5=30

żeby rozwiązać to zadanie, trzeba obliczyć pierwiastek z 25.

Na wspomnianych pierwiastkach sześciennych również można wykonywać mnożenie:

∛8 x ∛27=2 x 3=6

Jak widać mnożenie pierwiastków nie jest więc zatrważająco skomplikowane.

Dzielenie pierwiastków

W następnej kolejności trzeba oczywiście przejść do dzielenia, które również po przećwiczeniu okazuje się być proste oraz przyjemne. Na wstępie zaczniemy od łatwego zadania: 2√4 ∶ √2. Żeby re rozwiązać, trzeba zastosować wzór: (√a)/(√b)= √(a/b). W związku z tym, powyższe równanie należy rozpisać: 2 x √(4/2)=2 x √(2/1)=2 x √2=2√2. W przypadku, gdy dzielnik nie jest pierwiastkiem (czyli 2√4 ∶ 2), rozwiązanie jest takie: : (2 x √4)/2=2 x 2∶2=4∶2=2.

Podsumowanie

Powyższe przykłady mnożenia i dzielenia dowodzą w stu procentach, że działania te nie są szczególnie trudne – do zapamiętania są praktycznie wyłącznie dwa wzory dotyczące obliczania ilorazów. Co najważniejsze w matematyce, ważne jest żeby rozwiązywać jak najwięcej przykładów i osiągnąć perfekcję. Jednocześnie warto wspomnieć, że w przypadku niespodziewanej kartkówki lub sprawdzianu z pierwiastków, przy braku ich dokładnego opanowania, zawsze można skorzystać z serwisu Buki.org, na którym szybko i łatwo można znaleźć dobrego korepetytora udzielającego lekcji online lub stacjonarnie. Niemniej mamy ogromną nadzieję, że już nigdy nie zostanie postawione pytanie: jak mnożyć pierwiastki i je dzielić.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Można śmiało powiedzieć, że działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów. Jak to zwykle bywa, niechęć w tym przypadku najczęściej wynika z braku zrozumienia tej na pozór skomplikowanej materii. Z całą jednak pewnością można uznać, że zapoznanie się z podstawową wiedzą na ten temat wraz z wykonaniem kilkunastu lub kilkudziesięciu zadań, pozwoli dodawać i odejmować pierwiastki bez najmniejszego problemu. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami. Naprawdę mamy wielką nadzieję, że lektura tego tekstu pomoże każdemu opanować umiejętność wykonywania tych działań do prawdziwej perfekcji.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 32 rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi 9 ,trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Dodawanie pierwiastków

Przede wszystkim przechodząc do odpowiedzi na pytanie, jak dodawać pierwiastki, trzeba przypomnieć parę kwestii. Można je dodawać wyłącznie wtedy, gdy są tego samego stopnia, a dodatkowo muszą mieś identyczną liczbę podpierwiastkową – wtedy są to tak zwane pierwiastki podobne. Co również ważne i praktycznie kluczowe, działanie obejmuje liczby stojące przed pierwiastkami a nie w nich. Czyli przykładowo:

3√2 + 42 = 72

Jak wskazano powyżej dodajemy wyłącznie liczby przed pierwiastkami. W przypadku, gdy liczby podpierwiastkowe są różne, przykładowo:  3√2 + 42 wynik wynosić będzie po prostu 3√2 + 42. Przejdziemy również do znacznie cięższego przykładu, w którym na pierwszy rzut oka nie da się wykonać dodawania: 2√5 + 42 + 20. Koniecznym jest udzielenie paru cennych wskazówek – przede wszystkim trzeba rozłożyć liczby znajdujące się pod pierwiastkiem na iloczyny w ten sposób, że jedna stanowi wynik potęgowania do kwadratu.

Otrzymujemy więc

2√5+ √45+√(20 )= 2√5+ √9×5+√4×5= 2√5+ 3√5+2√(5 ) = 7√(5 )

Odejmowanie pierwiastków

Przy odejmowaniu pierwiastków należy mieć na uwadze te same zasady, które obowiązują przy ich dodawaniu. W przypadku różnych liczb podpierwiastkowych, należy znaleźć jedną wspólną, zaś pozostałą resztę, stanowiącą potęgę do kwadratu liczby naturalnej, wyciągnąć przed pierwiastek. Nie wyprzedzajmy jednak faktów i zacznijmy od przykładu prostego:

2√2- √2=√2

Jest to oczywiste. Bardziej skomplikowany przykład to:

√45- 2√5=√5x3x3- 2√5= 3√5- 2√5= √5

Podobnie więc jak przy dodawaniu, niejednokrotnie trzeba trochę pogłówkować, w celu znalezienia niejako wspólnej dla działania liczby podpierwiastkowej.

Podsumowanie

Mamy nadzieję, że powyższej zaprezentowane przykłady pomogą nauczyć się lub przypomną, jak się dodaje i odejmuje pierwiastki. Jak widać, nie jest to szczególnie skomplikowane, aczkolwiek warto poświęcić przynajmniej minimalną ilość wolnego czasu na szlifowanie tej umiejętności. Warto w tym miejscu również zachęcić do wizyty na stronie internetowej Buki.org, na której szybko i łatwo można znaleźć korepetytora z wybranego przedmiotu, który udzieli lekcji zarówno online, jak i stacjonarnie. W przypadku dużych problemów z danym działem matematyki, warto rozważyć tę opcję. Niemniej zachęcamy do regularnej nauki i rozwiązywania zadań, ponieważ jest to najważniejsze w celu opanowania matematyki.

Działania na potęgach

Potęgowanie to jedno z ciekawszych działań matematycznych, które polega na podnoszeniu danej liczby do konkretnej potęgi. Jeżeli nasz x jest dodatnią liczbą całkowitą, potęgowanie odpowiada na mnożeniu tej właśnie liczby przez samą siebie. Jeśli zapiszemy przykładowo 23, oznacza to, że liczbę 2 podnosimy do trzeciej potęgi. Czyli mnożymy 2 ⋅ 2 ⋅ 2, w rezultacie otrzymując 8. Proste, prawda? Sprawy komplikują się nieco, gdy do akcji wkraczają działania na potęgach. Przyjrzyjmy im się bliżej.

Dodawanie potęg

Postaramy się w łatwy i przejrzysty sposób wytłumaczyć jak dodawać potęgi. Rozumiemy, że wielu z Was może mieć z tym mały problemy. Bez obaw, to naprawdę prostsze, niż może się wydawać!

Przykład 1.

Dodawanie potęg może wydawać się utrudnione, ponieważ polega ono na dodawaniu wykładników potęg, lecz ich podstaw. Na samym początku musimy ustalić jedno. Mianowicie, że:

x + x = 2x

Jeżeli dodanie dwóch takich samych liczb naturalnych powoduje możliwość zamiany działania na mnożenie, to dodawanie potęg o tych samych podstawach będzie wyglądać następująco:

Jeżeli x + x = 2x,

to 42 + 42 = 2 42

Zamieniając działanie na mnożenie, wykonaliśmy właśnie poprawne dodawanie potęg o tych samych podstawach. Można oczywiście pokusić się o rozwiązanie tego działania. Spróbujecie odnaleźć wynik sami? Ile wynosi: 42 + 42 = 2 ⋅ 42 = ?

Przykład 2.

Pójdźmy o krok dalej. Co powiecie na takie dodawanie potęg?

2 42 + 42

W tym wypadku posłużymy się naszym początkowym wzorem z niewiadomą x, pamiętając również o kolejności wykonywania działań. Pamiętaj! Najpierw mnożenie, potem dodawanie! Dlatego:

Jeżeli 2x + x = 3x,

to: 2 42 + 42 = 3 42

I tak dalej, i tak dalej. Dodawanie potęg to prosta sprawa!

Odejmowanie potęg

Tak jak w przypadku dodawania, odejmowanie potęg będzie się rządziło podobnymi prawami. Jeśli już opanowaliście dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, to nie powinniście mieć problemu z działaniami na potęgach. Na wszelki wypadek, zobaczmy to na jednym, konkretnym przykładzie.

Przykład 3.

Nie owijając w bawełnę, rzućmy okiem na poniższą zależność:

2x – x = x

Skoro od większej liczby odejmujemy mniejszą i otrzymujemy wynik odejmowania, to teraz przenieśmy to samo na nasz przykład z potęgami:

2 42 – 42 = 42

Koniecznie pamiętaj o kolejności działań matematycznych. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie. Dlatego od dwóch liczb 42 odejmujemy jedną taką liczbę. Nie ma innego rozwiązania.

Potęgi wzory

Czy istnieją jakieś wzory potęg? Jak najbardziej. Poniżej przedstawiamy Ci kilka najważniejszych wzorów, które ułatwią Ci zrozumienie, na czym polega potęgowanie. Pozwól, że przedstawimy wzory na literach, gdzie:

a, b – podstawa potęgi

n, m – wykładnik potęgi

Oto wzory na potęgi:

Nie zapominaj!

Dodawanie i odejmowanie potęg może być elementem bardziej rozbudowanych działań matematycznych. Zawsze staraj się maksymalnie skracać i upraszczać wszelkie zapisy. Poprzez wzory skróconego mnożenia, wyciąganie przed nawias, lub – o czym pisaliśmy wyżej – odejmowanie i dodawanie potęg.

Na koniec jeszcze jedno: nie pomyl dodawania i odejmowania potęg z ich mnożeniem i dzieleniem!

Dodawanie: 63 + 63 + 63 = 3 63

Mnożenie: 63 63 63 =  63+3+3 = 69

Mnożenie logarytmów

Logarytmy w matematyce są rozwiązaniem równania, w którym szuka się liczby, do której trzeba podnieść jedną liczbę, by otrzymać drugą. Zanim jednak przejdziemy do mnożenia logarytmów, przypomnijmy krótko, na czym polegają same logarytmy. Najlepiej przedstawić od na przykładzie. Wzór logarytmu wygląda tak:

logab = c

Wtedy i tylko wtedy, gdy:

ac = b

Poszczególne litery tego ogólnego wzoru odczytamy następująco:

a – podstawa logarytmu

b – liczba logarytmowana

c – logarytm

Logarytm przy podstawie a z liczby b wynosi c.

Należy pamiętać również o tym, że podstawa logarytmu, czyli w naszym przykładzie a, musi być większa od 0 i różna od 1. Z kolei liczba logarytmowana, czyli nasze b wynosić musi więcej niż 0.

Mnożenie logarytmów o tej samej podstawie

Jeżeli chodzi o mnożenie logarytmów wzory nie istnieją. Aby poprawnie obliczyć wynik mnożenia logarytmów, musimy postępować tak, jak w przypadku ich dodawania i odejmowania. Na osobnej kartce lub gdzieś na boku na leży najpierw obliczyć każdy z logarytmów. Otrzymane wyniki następnie mnożymy przez siebie.

Skomplikowane? Spójrzmy na praktyczny przykład.

Przykład

Spróbujmy teraz obliczyć najbardziej podstawowy przykład mnożenia logarytmów o tej samej podstawie. Do znalezienia wyniku użyjemy działań matematycznych, które najpierw pozwolą nam rozwiązać każdy z logarytmów. Na koniec zamiast nich wstawimy otrzymane liczby, które przemnożymy, by uzyskać wynik końcowy tego działania.

log216 ⋅ log327 = ?

log216 = x

2x = 16

2x = 24

x = 4

log327 = y

3y = 27

3y = 33

y = 3

4 ⋅ 3 = 12

I to tyle w temacie mnożenia logarytmów. Oczywiście możesz spotkać się z bardziej rozbudowanymi działaniami matematycznymi, w których pojawią się również elementy mnożenia logarytmów. Pamiętając o odpowiedniej kolejności działań i obliczaniu „na marginesie” poszczególnych logarytmów, z pewnością uda Ci się rozwiązać nawet najbardziej rozbudowane zadanie.

Czy istnieją wzory logarytmów?

Nie ma jasno określonych wzorów na logarytmy, ponieważ nie są one w tym przypadku potrzebne. Rozwiązanie zadań z logarytmami odbywa się w oparciu o podstawowe zasady algebry. Żeby odpowiednio rozwiązać działania na kilku logarytmach, trzeba najpierw znaleźć wynik każdego z nich osobno.

O ile wzory logarytmów nie istnieją, o tyle możemy podzielić się z Wami kilkoma ważnymi zależnościami, które pomogą Wam w sprawniejszym poruszaniu się po tej dziedzinie matematyki. Oto dwa kluczowe wnioski, które warto zapamiętać:

loga1 = 0, ponieważ a0 = 1

loga a = 1, ponieważ a1 = a

Te dwa wnioski pojawiają się także przy temacie potęg, więc z pewnością nie są Ci obce.

Teraz już wiesz, że logarytmy mają całkiem dużo wspólnego z potęgami. Trzeba jedynie pamiętać, jak w jaki sposób „pozamieniać” kolejność elementów, by móc obliczyć konkretne działanie.

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa jest zmorą każdego ucznia, szczególnie wtedy, gdy dopiero zaczynamy przygodę z nią. W wielu z nas już sama nazwa wzbudza lęk. Sama definicja i własności funkcji kwadratowej nie są jeszcze aż tak skomplikowane, gorzej, kiedy przychodzi nam rozwiązać bardziej zagmatwane zadanie z jej wykorzystaniem. Dlatego warto dobrze opanować podstawy tej funkcji, by móc używać jej bez problemu w bardziej skomplikowanych przypadkach.

W tym artykule wytłumaczymy definicję funkcji kwadratowej na przykładach. Przyjrzymy się również temu, jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, wykresy oraz miejsca charakterystyczne na wykresie funkcji kwadratowej.

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f daną wzorem: f(x) = ax2+bx+c, w której a, b i c są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym liczba a jest różna od zera (a ≠ 0).

Dlaczego a nie może być zerem w funkcji kwadratowej? Ponieważ x przemnożony przez a będące 0, sam da 0 i z funkcji kwadratowej pozostanie nam po prostu funkcja liniowa.

Przykładami funkcji kwadratowej mogą być między innymi:

  • f(x) = 3x2+4x+7

w którym a=3 b=4 i c=7

  • f(x) = -9x2+8x+3

w którym a=-9 b=8 i c=3

  • f(x) = 5x2-4x

w którym a=5 b=-4 i c=0

  • f(x) = x2+ √2

w którym a=1 b=0 i c= √2

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej jest bardzo proste, gdy x jest prostą liczbą: wystarczy w miejsce x podstawić podaną liczbę i obliczyć równanie z zachowaniem prawidłowej kolejności wykonywania działań, czyli najpierw potęgowania i pierwiastkowania, później mnożenia i dzielenia (w kolejności występowania), na końcu dodawanie i odejmowanie kolejnych liczb.

Na przykład:

  • Dla funkcji f(x) = 3x2+4x+7, w której x=2, f(x) będzie równe:

f(2)= 3*2+4*2+7

f(2)=6+8+7

f(2)=21

Wykresy funkcji kwadratowej mają dosyć charakterystyczny kształt i, niezależnie od wartości x, wyglądają bardzo podobnie. Formalną nazwą tego kształtu jest parabola, która wygląda jak literka U o końcach wychodzących nieco bardziej na zewnątrz, pnących się ku nieskończoności, tak jak na poniższym rysunku:

Powyżej wykres dla funkcji: f(x) = x2

Jeżeli x jest wartością dodatnią, ramiona paraboli skierowane są ku górze, jeżeli jednak liczbą ujemną – ramiona paraboli będą skierowane w dół.

Wykres dla funkcji f(x) = -3x2+4x+7 będzie zatem wyglądał następująco:

Funkcja kwadratowa powtórzenie

Podstawowe własności wykresu funkcji kwadratowej:

  • wykres dowolnej funkcji kwadratowej jest symetryczny, co oznacza, że posiada oś symetrii – gdybyśmy chcieli odbić wykres względem jego osi symetrii, ramiona paraboli nałożyłyby się na siebie w każdym przypadku
  • oś symetrii paraboli przechodzi przez punkt nazwany wierzchołkiem paraboli
  • miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią x

Jak obliczyć miejsca zerowe dla paraboli? Wystarczy rozwiązać równanie f(x) równa się zero. Oczywiście może zdarzyć się, że funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych – jeśli wykres nie przecina osi X w żadnym punkcie.

Czy funkcja kwadratowa będzie posiadać miejsca zerowe, można szybko dowiedzieć się, wykonując poniższe równanie:

jeśli f(x) = ax2+bx+c, a ≠ 0, a ∆=b2-4ac

to:

∆<0      oznacza zero miejsc zerowych

∆=0      to jedno miejsce zerowe: x0=-b/2a

∆>0      to dwa miejsca zerowe

Im mniejsza wartość a, tym bliżej wykresowi do wyglądu wykresu funkcji liniowej, na przykład wykres dla funkcji: f(x) = 0.03x2+5x będzie wyglądał następująco:

Rzymski system zapisywania liczb

Czym są cyfry rzymskie?

Liczby rzymskie to powstałe w starożytnym Rzymie symbole oznaczające konkretne liczby. By wyrazić konkretne liczby, system rzymski zaanektował kilka liter z alfabetu łacińskiego i nadał im znaczenie liczbowe. Zapisywanie liczb w ten sposób było popularne w Europie aż do późnych lat średniowiecza i głównie takie symbole znajdziemy w zapisach z tych kilku tysięcy lat, pochodzących z Europy.

Tak jak w przypadku liczb arabskich, wyróżniamy kilka podstawowych symboli, które oznaczają konkretne liczby, a resztę cyfr i liczba zapisać można przez połączenie tych konkretnych symboli. W systemie rzymskich najważniejszych jest nie 10 podstawowych cyfr od 1 do 10, ale 7 symboli, które są łączone już w pierwszej dziesiątce liczb. Wszystkie z nich opisujemy szczegółowo w rozdziałach poniżej.

7 najważniejszych liter systemu rzymskiego

Zdecydowanie najważniejszymi symbolami są tutaj takie litery alfabetu łacińskiego jak:

I – oznacza 1; stojące obok siebie „I” dodaje się odpowiednio, stąd II będzie oznaczało 2, a III – 3;

V – oznacza 5; tej litery nie można jednak powtarzać, nie istnieje zapis „VV”, by zatem napisać 10, używamy kolejnej litery, czyli:

X – oznacza 10; stojące obok siebie „X” dodaje się odpowiednio, stąd XX będzie oznaczało 20, a XXX – 30;

L – oznacza 50; tej litery nie można podwajać ani potrajać – nie istnieje zapis „LL”, by zatem napisać 100, używamy kolejnej litery, czyli:

C – oznacza 100

D – oznacza 500; tej litery również nie można multiplikować– nie istnieje zapis „DD”, 1000 będzie zapisany zatem jako:

M – oznacza 1000

Jednak te liczby to tylko niektóre liczby z podstawowej numeracji. Jak więc starożytni Rzymianie zapisywali pozostałe cyfry od 1 do 9, by możliwe było napisanie dowolnej liczby? Jak wspomnieliśmy, niektóre litery można zapisywać razem i wtedy w połączeniu dają one daną cyfrę. Można też łączyć różne litery ze sobą, stąd VI będzie oznaczać „5 i 1”, czyli 6, a XIII – „10 i 3”, czyli 13.

Rzymskie liczby – sposób zapisu

Jak wspomniano, litery I, X, C oraz M można multiplikować, by wyrazić ich przemożenie (CC oznacza 200, a MM dwa tysiące). Nie można zapisać jednak większej liczby liter niż trzy, dlatego cyfry 4 nie zapisujemy jako „IIII”.

Jak więc zapisać 4, 9 i 14? Przed „V” lub „X” może być postawiona „I” i dzięki temu z „IV” otrzymujemy 4, z „IX” otrzymujemy 9, a z XIV – 14.

Podsumowując, cyfry od 1 do 9 w systemie rzymskim wyglądały tak:

I – 1

II – 2

III – 3

IV – 4

V – 5

VI – 6

VII – 7

VIII – 8

IX – 9

Pamiętajmy, że rzymskie liczby zapisuje się z reguły wielkimi literami (tak zwanymi drukowanymi), choć zezwala się na zapis z małych liter łacińskich na przykład w numeracji stron lub w punktacji. W części oficjalnych dokumentów, na przykład regulaminów lub aktów prawnych, znajdziemy zatem przypadki rzymskich liczb zapisanych w ten sposób: xi, iii lub xix.

Jakie jeszcze znaki rzymskie powinno się znać?

Jak mogłeś zauważyć, liczby rzymskie nie posiadają 0. By dodać kolejne 0 do liczby, rzymianie używali następnej litery. I dlatego przykłady wyglądają następująco:

X – 10

XX – 20

XXX – 30

XL – 40

L – 50

LX – 60

LXX – 70

LXXX – 80

XC – 90

C- 100

CC -200

MCDXCII – 1492

MCMLX – 1960

MMXIX – 2019

Matematyka dla dzieci – gry i zadania

Matematyka dla dzieci w domu

Matematyka dla dzieci com to odpowiedź na modlitwy wielu rodziców o pomoc w ukierunkowanej, lecz przy tym kreatywnej nauce matematyki w domu. O ile wszyscy umiemy znaleźć sposoby na to, jak wpleść w codzienną zabawę podstawowe liczenie i dodawanie, to już nauka mnożenia czy ułamków może stanowić nie lada ból głowy.

Tabliczka mnożenia jest zmorą wszystkich młodych rodziców i ich pociech. Kucie na pamięć wiersza za wierszem liczb, które nic nie znaczą, a (oprócz mnożenia przez 9) nie kierują się żadną łatwą do zapamiętania zasadą, jest katorgą dla wielu dzieci. Nie pomagają prośby i groźby, część dzieci stawia aktywny opór, który stanowi przeszkodę nie do pokonania.

Lecz jeśli istnieje lepszy sposób na skuteczną naukę matematyki u dzieci? Nasi eksperci przeszukują Internet w poszukiwaniu najlepszych sprowadzonych metod nauki matematyki dla dzieci, wybierając i testując gry dla dzieci matematyka, zadania i ćwiczenia, by ułatwić życie rodzicom takim jak ty. Propagujemy jedynie metody, które działają i które są dla dzieci dobrą zabawą, a nie próbą ognia. Bo wiemy, że tylko z tej strony warto zaczynać samodzielną naukę ze swoją pociechą.

Kreatywna matematyka dla dzieci – czy to działa?

Badania sugerują, że wczesne umiejętności matematyczne są lepszym wskaźnikiem sukcesu akademickiego niż wczesne umiejętności czytania – ale nie wszystkie przedszkola uczą matematyki już takie maluchy. A im więcej ćwiczeń z matematyki dzieci wykonują w okresie przedszkolnym, tym lepiej rozumieją matematykę w szkole.

Wczesne umiejętności matematyczne mają największą podstawę prognostyczną do oceny późniejszych sukcesów dziecka – donosi zespół psychologów kierowany przez Grega J. Duncana w badaniu opublikowanym w „Developmental Psychology” w 2007 roku. Kolejnymi metodami oceny przyszłego sukcesu są: umiejętność czytania oraz zdolność zwracania na siebie uwagi.

Badania uzupełniające również potwierdzają kluczowe znaczenie wczesnych umiejętności matematycznych dla późniejszego sukcesu w matematyce. Takie zdolności zapowiadają wyższe predyspozycje w matematyce szkolnej i wyższe wskaźniki przyjęć na studia. Badanie Vanderbilta z 2014 r. wykazało, że „zarówno dla mężczyzn, jak i dla kobiet, predyspozycje matematyczne na wczesnym etapie życia pozwalają przewidzieć późniejszy wkład twórczy i przywództwo w krytycznych rolach zawodowych”.

W tym artykule przedstawimy kilka ciekawych opcji na ćwiczenia, zabawy i gry dla dzieci do nauki matematyki, którymi możesz pomóc swoim dzieciom nawet w domu.

Kreatywna matematyka dla najmłodszych dzieci

W przypadku najmłodszych dzieci, które nie znają jeszcze cyferek i nie potrafią liczyć, najlepiej sprawdzają się gry uczące geometrii. Nie można przecież zapomnieć, że kwadraty, koła i trójkąty to przecież bardzo ważna część nauk matematycznych.

Większość dzieci będzie miało już wśród swoich zabawek klocki z drewnianą ramką z powykrawanymi w niej otworami o odpowiednich kształtach, w które maluch może wkładać klocki i przymierzać, czy pasują. Inne zabawy mogą polegać na układaniu nowych kształtów z wyciętych z kartonu kolorowych figur geometrycznych (na przykład takich naklejanych na szybę) lub grze z geoplanem, który można kupić lub łatwo wykonać samodzielnie w domu.

Geoplan to nic innego jak drewniana deseczka, z której wystają tej samej długości drewniane kołki w równych odstępach. Przy pomocy gumek recepturek dziecko może tworzyć na kołkach różne figury geometryczne, rozciągając gumki pomiędzy kołkami. Im więcej kołków, tym większe pole do popisu.

Inne ćwiczenia do nauki geometrii to na przykład plastikowa torebka wypełniona żelem z małymi kulkami, na której zewnętrznej stronie można nakleić figury geometryczne (same zarysowania, puste w środku). Dziecko może wtedy przesuwać palcem kulki do podanej przez dorosłego figury. Nieco starsze pociechy będą w stanie przesuwać do figur odpowiednią ilość kulek i tworzyć zbiory liczb, np. 3 do żółtego trójkąta, 4 do czerwonego kwadratu itd.

Starsze dzieci mogą nauczyć się z geoplanu nawet tego, jak trójkąt można wpisać w koło i odwrotnie. To świetna kreatyna zabawa do nauki matematyki dla najmłodszych. Do nauki pisania literek i cyferek warto użyć talerzyka wysypanego piaskiem lub bułką tartą. Wielkość talerza sprawi, że pisanie małymi niezdarnymi jeszcze rękami dziecka będzie prostsze niż ołówkiem na papierze, a element „wycierania” liczb zmieni naukę w zabawę.

Kreatywna matematyka dla przedszkolaków

Wśród zabaw ułatwiających poznawanie i zapamiętywanie liczb, świetnie sprawdzą się każdego rodzaju talerzyki, miseczki i kubeczki z cyframi od jeden do 10 (lub większych sum, w zależności od gry). Do takich pojemniczków dziecko wkłada odpowiednią ilość (wybierz odpowiednie): żelek, kasztanów, koralików, patyczków lub cokolwiek macie pod ręką.

Oznaczanie numerami wszystkiego, co macie pod ręką, jest świetnym sposobem na zapamiętywanie wizualnego odwzorowania danej liczby w codziennym życiu. Trzy szczoteczki do zębów, pięć talerzy, 6 poduszek na kanapie, 4 kwiatki na talerzy. Spraw, by życie stało się matematyczną zabawą, a liczenie przyjdzie Twoim dzieciom z zadziwiającą łatwością.

Chociaż tradycyjne liczydło nikomu nie zawróci w głowie, to ta antyczna zabawka do teraz pozostaje jednym z najlepszych narzędzi do nauki dodawania i odejmowania. W przypadku dzieci przedszkolnych oczywiste jest, że im atrakcyjniejsze liczydło, tym łatwiejsza będzie nauka.

Warto pamiętać, by było w użyciu jak najczęściej: kiedy nasz maluch zacznie swoją przygodę z dodawaniem, warto sięgać po liczydło jak najczęściej, przy każdej czynności domowej, w której można coś policzyć. Im częściej liczydło będzie w ruchu, tym większe znaczenie będzie miało dla naszego dziecka poznawania ostatecznego wyniku i sumy np. placków, które musimy usmażyć dla całej rodziny.

Domowa nauka matematyki dla dzieci szkolnych

Do nauki mnożenia przyda się fizyczna „tabelka”, którą z łatwością można zrobić w domu. Wystarczy deseczka, która pomieści pola takiej samej wielkości (np. o rozmiarze kwadratowych klocków, które mamy w domu) o rozmiarze 9×9. Wierszami i kolumnami tabeli będą liczby od 1 do 9.

Dziecko mające przemnożyć jedną liczbę przez drugą, może po prostu ułożyć odpowiednią ilość klocków pod mnożonymi przez siebie cyframi i przeliczyć klocki. Jednak uwaga! Ta genialna metoda nauki mnożenia, wynaleziona w szkołach Montessori, wymaga aż 81 klocków!

Istnieje również sporo interesujących i tanich ćwiczeń do nauki ułamków. Na szczęście nie musisz już codziennie zamawiać pizzy lub piec babki, dzieląc ją na równe części i licząc każdy po kolei. Wystarczy zwykły talerz i zmywalny pisak. Takie „narzędzie” można wtedy dzielić tyle razy, ile nam się podoba. Powodzenia!

Jak uczyć dzieci matematyki w domu?

Z większymi dziećmi można również zacząć naukę kodowania, nawet bez użycia komputera i specjalistycznych programów. Zabawki służące do poznania podstaw kodowania można zrobić samemu w domu i to bardzo tanio.

Te i inne metody sprytnej nauki matematyki w domu poznasz przy pomocy naszej strony już niedługo! Szukaj innych sposobów na kreatywną naukę matematyki w domu na naszej stronie. Czytaj na bieżąco artykuły naszych ekspertów i poznaj wszystkie najlepsze i sprawdzone metody na kreatywną naukę w domu!