Funkcja kwadratowa jest zmorą każdego ucznia, szczególnie wtedy, gdy dopiero zaczynamy przygodę z nią. W wielu z nas już sama nazwa wzbudza lęk. Sama definicja i własności funkcji kwadratowej nie są jeszcze aż tak skomplikowane, gorzej, kiedy przychodzi nam rozwiązać bardziej zagmatwane zadanie z jej wykorzystaniem. Dlatego warto dobrze opanować podstawy tej funkcji, by móc używać jej bez problemu w bardziej skomplikowanych przypadkach.
W tym artykule wytłumaczymy definicję funkcji kwadratowej na przykładach. Przyjrzymy się również temu, jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, wykresy oraz miejsca charakterystyczne na wykresie funkcji kwadratowej.
Wszystko o funkcji kwadratowej
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f daną wzorem: f(x) = ax2+bx+c, w której a, b i c są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym liczba a jest różna od zera (a ≠ 0).
Dlaczego a nie może być zerem w funkcji kwadratowej? Ponieważ x przemnożony przez a będące 0, sam da 0 i z funkcji kwadratowej pozostanie nam po prostu funkcja liniowa.
Przykładami funkcji kwadratowej mogą być między innymi:
- f(x) = 3x2+4x+7
w którym a=3 b=4 i c=7
- f(x) = -9x2+8x+3
w którym a=-9 b=8 i c=3
- f(x) = 5x2-4x
w którym a=5 b=-4 i c=0
- f(x) = x2+ √2
w którym a=1 b=0 i c= √2
Obliczanie wartości funkcji kwadratowej jest bardzo proste, gdy x jest prostą liczbą: wystarczy w miejsce x podstawić podaną liczbę i obliczyć równanie z zachowaniem prawidłowej kolejności wykonywania działań, czyli najpierw potęgowania i pierwiastkowania, później mnożenia i dzielenia (w kolejności występowania), na końcu dodawanie i odejmowanie kolejnych liczb.
Na przykład:
- Dla funkcji f(x) = 3x2+4x+7, w której x=2, f(x) będzie równe:
f(2)= 3*2+4*2+7
f(2)=6+8+7
f(2)=21
Wykresy funkcji kwadratowej mają dosyć charakterystyczny kształt i, niezależnie od wartości x, wyglądają bardzo podobnie. Formalną nazwą tego kształtu jest parabola, która wygląda jak literka U o końcach wychodzących nieco bardziej na zewnątrz, pnących się ku nieskończoności, tak jak na poniższym rysunku:
Powyżej wykres dla funkcji: f(x) = x2
Jeżeli x jest wartością dodatnią, ramiona paraboli skierowane są ku górze, jeżeli jednak liczbą ujemną – ramiona paraboli będą skierowane w dół.
Wykres dla funkcji f(x) = -3x2+4x+7 będzie zatem wyglądał następująco:
Funkcja kwadratowa powtórzenie
Podstawowe własności wykresu funkcji kwadratowej:
- wykres dowolnej funkcji kwadratowej jest symetryczny, co oznacza, że posiada oś symetrii – gdybyśmy chcieli odbić wykres względem jego osi symetrii, ramiona paraboli nałożyłyby się na siebie w każdym przypadku
- oś symetrii paraboli przechodzi przez punkt nazwany wierzchołkiem paraboli
- miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią x
Jak obliczyć miejsca zerowe dla paraboli? Wystarczy rozwiązać równanie f(x) równa się zero. Oczywiście może zdarzyć się, że funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych – jeśli wykres nie przecina osi X w żadnym punkcie.
Czy funkcja kwadratowa będzie posiadać miejsca zerowe, można szybko dowiedzieć się, wykonując poniższe równanie:
jeśli f(x) = ax2+bx+c, a ≠ 0, a ∆=b2-4ac
to:
∆<0 oznacza zero miejsc zerowych
∆=0 to jedno miejsce zerowe: x0=-b/2a
∆>0 to dwa miejsca zerowe
Im mniejsza wartość a, tym bliżej wykresowi do wyglądu wykresu funkcji liniowej, na przykład wykres dla funkcji: f(x) = 0.03x2+5x będzie wyglądał następująco:
1 comment so far