Wszystko o funkcji kwadratowej

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa jest zmorą każdego ucznia, szczególnie wtedy, gdy dopiero zaczynamy przygodę z nią. W wielu z nas już sama nazwa wzbudza lęk. Sama definicja i własności funkcji kwadratowej nie są jeszcze aż tak skomplikowane, gorzej, kiedy przychodzi nam rozwiązać bardziej zagmatwane zadanie z jej wykorzystaniem. Dlatego warto dobrze opanować podstawy tej funkcji, by móc używać jej bez problemu w bardziej skomplikowanych przypadkach.

W tym artykule wytłumaczymy definicję funkcji kwadratowej na przykładach. Przyjrzymy się również temu, jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, wykresy oraz miejsca charakterystyczne na wykresie funkcji kwadratowej.

Wszystko o funkcji kwadratowej

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f daną wzorem: f(x) = ax2+bx+c, w której a, b i c są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym liczba a jest różna od zera (a ≠ 0).

Dlaczego a nie może być zerem w funkcji kwadratowej? Ponieważ x przemnożony przez a będące 0, sam da 0 i z funkcji kwadratowej pozostanie nam po prostu funkcja liniowa.

Przykładami funkcji kwadratowej mogą być między innymi:

  • f(x) = 3x2+4x+7

w którym a=3 b=4 i c=7

  • f(x) = -9x2+8x+3

w którym a=-9 b=8 i c=3

  • f(x) = 5x2-4x

w którym a=5 b=-4 i c=0

  • f(x) = x2+ √2

w którym a=1 b=0 i c= √2

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej jest bardzo proste, gdy x jest prostą liczbą: wystarczy w miejsce x podstawić podaną liczbę i obliczyć równanie z zachowaniem prawidłowej kolejności wykonywania działań, czyli najpierw potęgowania i pierwiastkowania, później mnożenia i dzielenia (w kolejności występowania), na końcu dodawanie i odejmowanie kolejnych liczb.

Na przykład:

  • Dla funkcji f(x) = 3x2+4x+7, w której x=2, f(x) będzie równe:

f(2)= 3*2+4*2+7

f(2)=6+8+7

f(2)=21

Wykresy funkcji kwadratowej mają dosyć charakterystyczny kształt i, niezależnie od wartości x, wyglądają bardzo podobnie. Formalną nazwą tego kształtu jest parabola, która wygląda jak literka U o końcach wychodzących nieco bardziej na zewnątrz, pnących się ku nieskończoności, tak jak na poniższym rysunku:

Powyżej wykres dla funkcji: f(x) = x2

Jeżeli x jest wartością dodatnią, ramiona paraboli skierowane są ku górze, jeżeli jednak liczbą ujemną – ramiona paraboli będą skierowane w dół.

Wykres dla funkcji f(x) = -3x2+4x+7 będzie zatem wyglądał następująco:

Funkcja kwadratowa powtórzenie

Podstawowe własności wykresu funkcji kwadratowej:

  • wykres dowolnej funkcji kwadratowej jest symetryczny, co oznacza, że posiada oś symetrii – gdybyśmy chcieli odbić wykres względem jego osi symetrii, ramiona paraboli nałożyłyby się na siebie w każdym przypadku
  • oś symetrii paraboli przechodzi przez punkt nazwany wierzchołkiem paraboli
  • miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią x

Jak obliczyć miejsca zerowe dla paraboli? Wystarczy rozwiązać równanie f(x) równa się zero. Oczywiście może zdarzyć się, że funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych – jeśli wykres nie przecina osi X w żadnym punkcie.

Czy funkcja kwadratowa będzie posiadać miejsca zerowe, można szybko dowiedzieć się, wykonując poniższe równanie:

jeśli f(x) = ax2+bx+c, a ≠ 0, a ∆=b2-4ac

to:

∆<0      oznacza zero miejsc zerowych

∆=0      to jedno miejsce zerowe: x0=-b/2a

∆>0      to dwa miejsca zerowe

Im mniejsza wartość a, tym bliżej wykresowi do wyglądu wykresu funkcji liniowej, na przykład wykres dla funkcji: f(x) = 0.03x2+5x będzie wyglądał następująco:

Editor

1 comment so far

Helena Dudzińska Posted on12:21 - 24.01.2021

Byłam bardzo zdziwiona, że tak szczegółowo i trafnie opisujecie naprawdę ważne żeczy dla nauki przedmiotu. Bardzo wdzięczna 🙂