Archive 15.04.2021

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Z całą pewnością działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów, zaś powszechna niechęć wynika z braku zrozumienia zagadnienia. Z pewnością dla niektórych osób, samo zrozumienie pojęcia pierwiastkowania jest nie lada wyczynem i wiąże się z koniecznością poświęcenia czasu na jego opanowanie i przyswojenie. Jesteśmy jednak pewni, że nauczenie się odpowiednich wzorów nie jest rzeczą niemożliwą, a ich znajomość powinna pozwolić na mnożenie i dzielenie pierwiastków szybko i poprawnie. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 32 rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi √9 trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Mnożenie pierwiastków

Po krótkim przypomnieniu, czym w ogóle są pierwiastki, z całą pewnością możemy przedstawić wzory na ich mnożenie oraz dzielenie. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań matematycznych, rozpoczniemy od mnożenia.

Na początek łatwy przykład:

√2 x √2

mnożymy po prostu obie liczby znajdujące się pod pierwiastkami, co daje wynik 4, czyli odpowiedzią jest √4, który oczywiście wynosi 2.

Poprawny zapis wygląda następująco:

√(2 ) x √2= √2×2= √4=2

Inny przykładem jest

(√6)^2= √6 x √6= √36=6

Powyższe generalnie uznać można za naprawdę proste, dlatego też następny będzie cięższy:

2 √5 x 3√5=3 x 2 x √5 x √5=6 x 5=30

żeby rozwiązać to zadanie, trzeba obliczyć pierwiastek z 25.

Na wspomnianych pierwiastkach sześciennych również można wykonywać mnożenie:

∛8 x ∛27=2 x 3=6

Jak widać mnożenie pierwiastków nie jest więc zatrważająco skomplikowane.

Dzielenie pierwiastków

W następnej kolejności trzeba oczywiście przejść do dzielenia, które również po przećwiczeniu okazuje się być proste oraz przyjemne. Na wstępie zaczniemy od łatwego zadania: 2√4 ∶ √2. Żeby re rozwiązać, trzeba zastosować wzór: (√a)/(√b)= √(a/b). W związku z tym, powyższe równanie należy rozpisać: 2 x √(4/2)=2 x √(2/1)=2 x √2=2√2. W przypadku, gdy dzielnik nie jest pierwiastkiem (czyli 2√4 ∶ 2), rozwiązanie jest takie: : (2 x √4)/2=2 x 2∶2=4∶2=2.

Podsumowanie

Powyższe przykłady mnożenia i dzielenia dowodzą w stu procentach, że działania te nie są szczególnie trudne – do zapamiętania są praktycznie wyłącznie dwa wzory dotyczące obliczania ilorazów. Co najważniejsze w matematyce, ważne jest żeby rozwiązywać jak najwięcej przykładów i osiągnąć perfekcję. Jednocześnie warto wspomnieć, że w przypadku niespodziewanej kartkówki lub sprawdzianu z pierwiastków, przy braku ich dokładnego opanowania, zawsze można skorzystać z serwisu Buki.org, na którym szybko i łatwo można znaleźć dobrego korepetytora udzielającego lekcji online lub stacjonarnie. Niemniej mamy ogromną nadzieję, że już nigdy nie zostanie postawione pytanie: jak mnożyć pierwiastki i je dzielić.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Można śmiało powiedzieć, że działania na pierwiastkach nie należą do ulubionych zadań uczniów. Jak to zwykle bywa, niechęć w tym przypadku najczęściej wynika z braku zrozumienia tej na pozór skomplikowanej materii. Z całą jednak pewnością można uznać, że zapoznanie się z podstawową wiedzą na ten temat wraz z wykonaniem kilkunastu lub kilkudziesięciu zadań, pozwoli dodawać i odejmować pierwiastki bez najmniejszego problemu. W niniejszym artykule po krótce przedstawimy, w jaki sposób wykonuje się wskazane powyżej działania na pierwiastkach, posiłkując się przykładami. Naprawdę mamy wielką nadzieję, że lektura tego tekstu pomoże każdemu opanować umiejętność wykonywania tych działań do prawdziwej perfekcji.

Czym jest pierwiastek?

Na samym początku wręcz niezbędnym jest przypomnienie, że generalnie pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Powszechnie wiadomym jest, że 32 rozpisać można jako 3 x 3, co daje wynik 9 – trzy do potęgi drugiej równa się 9. Przyjmując, że pierwiastkowanie jest odwrotnością powyższego działania, obliczając ile wynosi 9 ,trzeba zastanowić się, która liczba podniesiona do kwadratu daje wynik 9. Oczywistym jest, że tą cyfrą jest 3, co zresztą obrazuje wcześniejszy przykład. Poza pierwiastkami kwadratowymi (do potęgi drugiej), występują również sześcienne (do potęgi trzeciej). Można również obliczać pierwiastki do potęgi 4, 5 i tak praktycznie w nieskończoność.

Dodawanie pierwiastków

Przede wszystkim przechodząc do odpowiedzi na pytanie, jak dodawać pierwiastki, trzeba przypomnieć parę kwestii. Można je dodawać wyłącznie wtedy, gdy są tego samego stopnia, a dodatkowo muszą mieś identyczną liczbę podpierwiastkową – wtedy są to tak zwane pierwiastki podobne. Co również ważne i praktycznie kluczowe, działanie obejmuje liczby stojące przed pierwiastkami a nie w nich. Czyli przykładowo:

3√2 + 42 = 72

Jak wskazano powyżej dodajemy wyłącznie liczby przed pierwiastkami. W przypadku, gdy liczby podpierwiastkowe są różne, przykładowo:  3√2 + 42 wynik wynosić będzie po prostu 3√2 + 42. Przejdziemy również do znacznie cięższego przykładu, w którym na pierwszy rzut oka nie da się wykonać dodawania: 2√5 + 42 + 20. Koniecznym jest udzielenie paru cennych wskazówek – przede wszystkim trzeba rozłożyć liczby znajdujące się pod pierwiastkiem na iloczyny w ten sposób, że jedna stanowi wynik potęgowania do kwadratu.

Otrzymujemy więc

2√5+ √45+√(20 )= 2√5+ √9×5+√4×5= 2√5+ 3√5+2√(5 ) = 7√(5 )

Odejmowanie pierwiastków

Przy odejmowaniu pierwiastków należy mieć na uwadze te same zasady, które obowiązują przy ich dodawaniu. W przypadku różnych liczb podpierwiastkowych, należy znaleźć jedną wspólną, zaś pozostałą resztę, stanowiącą potęgę do kwadratu liczby naturalnej, wyciągnąć przed pierwiastek. Nie wyprzedzajmy jednak faktów i zacznijmy od przykładu prostego:

2√2- √2=√2

Jest to oczywiste. Bardziej skomplikowany przykład to:

√45- 2√5=√5x3x3- 2√5= 3√5- 2√5= √5

Podobnie więc jak przy dodawaniu, niejednokrotnie trzeba trochę pogłówkować, w celu znalezienia niejako wspólnej dla działania liczby podpierwiastkowej.

Podsumowanie

Mamy nadzieję, że powyższej zaprezentowane przykłady pomogą nauczyć się lub przypomną, jak się dodaje i odejmuje pierwiastki. Jak widać, nie jest to szczególnie skomplikowane, aczkolwiek warto poświęcić przynajmniej minimalną ilość wolnego czasu na szlifowanie tej umiejętności. Warto w tym miejscu również zachęcić do wizyty na stronie internetowej Buki.org, na której szybko i łatwo można znaleźć korepetytora z wybranego przedmiotu, który udzieli lekcji zarówno online, jak i stacjonarnie. W przypadku dużych problemów z danym działem matematyki, warto rozważyć tę opcję. Niemniej zachęcamy do regularnej nauki i rozwiązywania zadań, ponieważ jest to najważniejsze w celu opanowania matematyki.

Działania na potęgach

Potęgowanie to jedno z ciekawszych działań matematycznych, które polega na podnoszeniu danej liczby do konkretnej potęgi. Jeżeli nasz x jest dodatnią liczbą całkowitą, potęgowanie odpowiada na mnożeniu tej właśnie liczby przez samą siebie. Jeśli zapiszemy przykładowo 23, oznacza to, że liczbę 2 podnosimy do trzeciej potęgi. Czyli mnożymy 2 ⋅ 2 ⋅ 2, w rezultacie otrzymując 8. Proste, prawda? Sprawy komplikują się nieco, gdy do akcji wkraczają działania na potęgach. Przyjrzyjmy im się bliżej.

Dodawanie potęg

Postaramy się w łatwy i przejrzysty sposób wytłumaczyć jak dodawać potęgi. Rozumiemy, że wielu z Was może mieć z tym mały problemy. Bez obaw, to naprawdę prostsze, niż może się wydawać!

Przykład 1.

Dodawanie potęg może wydawać się utrudnione, ponieważ polega ono na dodawaniu wykładników potęg, lecz ich podstaw. Na samym początku musimy ustalić jedno. Mianowicie, że:

x + x = 2x

Jeżeli dodanie dwóch takich samych liczb naturalnych powoduje możliwość zamiany działania na mnożenie, to dodawanie potęg o tych samych podstawach będzie wyglądać następująco:

Jeżeli x + x = 2x,

to 42 + 42 = 2 42

Zamieniając działanie na mnożenie, wykonaliśmy właśnie poprawne dodawanie potęg o tych samych podstawach. Można oczywiście pokusić się o rozwiązanie tego działania. Spróbujecie odnaleźć wynik sami? Ile wynosi: 42 + 42 = 2 ⋅ 42 = ?

Przykład 2.

Pójdźmy o krok dalej. Co powiecie na takie dodawanie potęg?

2 42 + 42

W tym wypadku posłużymy się naszym początkowym wzorem z niewiadomą x, pamiętając również o kolejności wykonywania działań. Pamiętaj! Najpierw mnożenie, potem dodawanie! Dlatego:

Jeżeli 2x + x = 3x,

to: 2 42 + 42 = 3 42

I tak dalej, i tak dalej. Dodawanie potęg to prosta sprawa!

Odejmowanie potęg

Tak jak w przypadku dodawania, odejmowanie potęg będzie się rządziło podobnymi prawami. Jeśli już opanowaliście dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, to nie powinniście mieć problemu z działaniami na potęgach. Na wszelki wypadek, zobaczmy to na jednym, konkretnym przykładzie.

Przykład 3.

Nie owijając w bawełnę, rzućmy okiem na poniższą zależność:

2x – x = x

Skoro od większej liczby odejmujemy mniejszą i otrzymujemy wynik odejmowania, to teraz przenieśmy to samo na nasz przykład z potęgami:

2 42 – 42 = 42

Koniecznie pamiętaj o kolejności działań matematycznych. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie. Dlatego od dwóch liczb 42 odejmujemy jedną taką liczbę. Nie ma innego rozwiązania.

Potęgi wzory

Czy istnieją jakieś wzory potęg? Jak najbardziej. Poniżej przedstawiamy Ci kilka najważniejszych wzorów, które ułatwią Ci zrozumienie, na czym polega potęgowanie. Pozwól, że przedstawimy wzory na literach, gdzie:

a, b – podstawa potęgi

n, m – wykładnik potęgi

Oto wzory na potęgi:

Nie zapominaj!

Dodawanie i odejmowanie potęg może być elementem bardziej rozbudowanych działań matematycznych. Zawsze staraj się maksymalnie skracać i upraszczać wszelkie zapisy. Poprzez wzory skróconego mnożenia, wyciąganie przed nawias, lub – o czym pisaliśmy wyżej – odejmowanie i dodawanie potęg.

Na koniec jeszcze jedno: nie pomyl dodawania i odejmowania potęg z ich mnożeniem i dzieleniem!

Dodawanie: 63 + 63 + 63 = 3 63

Mnożenie: 63 63 63 =  63+3+3 = 69

Mnożenie logarytmów

Logarytmy w matematyce są rozwiązaniem równania, w którym szuka się liczby, do której trzeba podnieść jedną liczbę, by otrzymać drugą. Zanim jednak przejdziemy do mnożenia logarytmów, przypomnijmy krótko, na czym polegają same logarytmy. Najlepiej przedstawić od na przykładzie. Wzór logarytmu wygląda tak:

logab = c

Wtedy i tylko wtedy, gdy:

ac = b

Poszczególne litery tego ogólnego wzoru odczytamy następująco:

a – podstawa logarytmu

b – liczba logarytmowana

c – logarytm

Logarytm przy podstawie a z liczby b wynosi c.

Należy pamiętać również o tym, że podstawa logarytmu, czyli w naszym przykładzie a, musi być większa od 0 i różna od 1. Z kolei liczba logarytmowana, czyli nasze b wynosić musi więcej niż 0.

Mnożenie logarytmów o tej samej podstawie

Jeżeli chodzi o mnożenie logarytmów wzory nie istnieją. Aby poprawnie obliczyć wynik mnożenia logarytmów, musimy postępować tak, jak w przypadku ich dodawania i odejmowania. Na osobnej kartce lub gdzieś na boku na leży najpierw obliczyć każdy z logarytmów. Otrzymane wyniki następnie mnożymy przez siebie.

Skomplikowane? Spójrzmy na praktyczny przykład.

Przykład

Spróbujmy teraz obliczyć najbardziej podstawowy przykład mnożenia logarytmów o tej samej podstawie. Do znalezienia wyniku użyjemy działań matematycznych, które najpierw pozwolą nam rozwiązać każdy z logarytmów. Na koniec zamiast nich wstawimy otrzymane liczby, które przemnożymy, by uzyskać wynik końcowy tego działania.

log216 ⋅ log327 = ?

log216 = x

2x = 16

2x = 24

x = 4

log327 = y

3y = 27

3y = 33

y = 3

4 ⋅ 3 = 12

I to tyle w temacie mnożenia logarytmów. Oczywiście możesz spotkać się z bardziej rozbudowanymi działaniami matematycznymi, w których pojawią się również elementy mnożenia logarytmów. Pamiętając o odpowiedniej kolejności działań i obliczaniu „na marginesie” poszczególnych logarytmów, z pewnością uda Ci się rozwiązać nawet najbardziej rozbudowane zadanie.

Czy istnieją wzory logarytmów?

Nie ma jasno określonych wzorów na logarytmy, ponieważ nie są one w tym przypadku potrzebne. Rozwiązanie zadań z logarytmami odbywa się w oparciu o podstawowe zasady algebry. Żeby odpowiednio rozwiązać działania na kilku logarytmach, trzeba najpierw znaleźć wynik każdego z nich osobno.

O ile wzory logarytmów nie istnieją, o tyle możemy podzielić się z Wami kilkoma ważnymi zależnościami, które pomogą Wam w sprawniejszym poruszaniu się po tej dziedzinie matematyki. Oto dwa kluczowe wnioski, które warto zapamiętać:

loga1 = 0, ponieważ a0 = 1

loga a = 1, ponieważ a1 = a

Te dwa wnioski pojawiają się także przy temacie potęg, więc z pewnością nie są Ci obce.

Teraz już wiesz, że logarytmy mają całkiem dużo wspólnego z potęgami. Trzeba jedynie pamiętać, jak w jaki sposób „pozamieniać” kolejność elementów, by móc obliczyć konkretne działanie.